anotherとotherとothersの違い – What’s the difference between another, other, and others?

I can’t tell one beer from another.

「ビールの銘柄の違いなんか分からない」という意味のセンテンスです。ある一つの銘柄と別の一つの銘柄を比べていますが、ビールの銘柄はたくさんあります。複数あるうちのこれと限定はしないが一つというときは another を用います。

They are twins. I can’t tell one from the other.

「双子がいて、その二人を見分けられない 」という意味です。何しろ双子ですから一方を選べば残りは一人。自ずと限定されます。二つのうちの（別の）一方というときは the other です。前項のビールの例と対照的ですね。ビールの銘柄はたくさんあるから、一つを選んでも残りは一つに限定されません。

The post office is on the other side of the street.

「郵便局は通りのあちら側にあります」
通りにはこちら側とあちら側しかありませんから、こちらでないならあちらです。前項同様、二つのうちの（別の）一方なので the other (side) です。

This cake is delicious! Can I have another slice, please?

「このケーキおいしい！もう一切れもらえる？」と言っていますが、もう一切れ食べた後に、さらにもう一切れほしくなるかもしれない。特定のもう一つではないので another を使います。食べ物や飲み物をお代わりする場合、もう一皿とかもう一杯とかの「もう一つ」は、通常、another を用います。

There were three books on the table. One is here. Where are the others?

「テーブルの上に本は3冊あったでしょう。1冊はここにあるけど、他のはどこに行ったの？」
テーブルの上に「三四郎」「それから」「門」があったとします。ここにある1冊が「三四郎」なら残りは2冊で「それから」と「門」に限定されます。「他のはどこに行ったの？」の「他の」はこれと限定される複数のもの（ここでは2冊の書籍）ですから the others です。

Some people like this movie, and others don’t (like this movie).

この映画を良いと言う人もいれば、そうでない人もいる。直訳するなら「ある人々はこの映画を好むが、他の人々はそうでない（この映画を好まない）」です。最初のセンテンスも後に続くセンテンスも主語は複数です。しかも特定の誰かではない。正解はothersです。