もっと早い今月？ – earlier this month

月曜日のレッスンで earlier this month という表現を使ったのですが、この earlier this month っていつを指しているのでしょう。

this month ですからまずは「今月」です。一方、earlierは「ある時点より以前」を意味します。
例えば、8月15日現在で earlier this month と言うなら、8月1日から14日までのいつかです。とは言え、通常、昨日や一昨日なら yesterday とか the day before yesterday を使うので、感覚的にはもうちょっと earlier な時点に使うのが妥当でしょう。
具体的な訳語としては、単に「今月」としたり「今月に入って」などが使われます。場合によって「今月初め」とすることもあります。

As announced earlier this month

「さきに発表した通り」

発表したのが月初めと分かっているなら「今月初めに発表した通り」と訳せばよいし、分からないなら「さきに」としてもいい。「今月」と特定することが大事なら「今月発表しましたが」と訳してもよいでしょう。

earlier this week や earlier this year も同じです。earlier today ということもあります。

I bought this earlier today, but it seems to have a stain on it.

「さっきこれ買ったんだけど、ちょっとシミが付いてみるみたいなんだよね。」

earlier this month が「今月の今より以前の出来事」を表すのに対し「今月の今より以降の出来事」に言及するときは later this month を使います。訳語としては「今月、今月中に、月末までに」などが使われます。month の他に、later this week、later this year、later today、later this afternoonなど、けっこういろいろなバリエーションがあります。基本的な考え方は同じです。

His new book will be out later this month.

「今月中に彼の新著が発売になります。」

I’ll see him later today.

「今日、後で彼に会うよ。」